Das Trapez mit ist die Grundfläche des Prismas mit der Höhe (siehe Skizze).
Es gilt: ; ; ; ; .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Zeichnen Sie das Schrägbild des Prismas mit der Strecke , wobei auf der Schrägbildachse und links von liegen soll.
Für die Zeichnung gilt: ; .
Berechnen Sie sodann das Maß des Winkels und die Länge der Strecke .[Teilergebnis: ]
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Schrägbild des Prismas ABCDEFGH mit Schrägachse [AB]:
- Strecke .
- , da wir aber im Schrägbild die Winkel verkürzen und ist, zeichnen wir den Winkel (grün).
- , da wir aber auch die Längen nach hinten verkürzen und ist, zeichnen wir die Strecke lang.
- : Wir zeichnen eine Parallele zu im Punkt D.
- , damit haben wir den Eckpunkt C.
- ist die Höhe des Prismas, daraus folgt, dass senkrecht zu ist. Wir zeichnen eine Senkrechte in mit einer Länge von .
- Damit wissen wir, dass es ein gerades Prisma ist, wir können das Vorgehen bei den Eckpunkten B, C und D wiederholen (rot).
- Zuletzt müssen wir nur noch die Eckpunkte verbinden.
Länge der Strecke im rechtwinkligen Dreieck mit dem Satz des Pythagoras:
Der Punkt liegt auf der Strecke . Die Strecke verläuft parallel zur Strecke . Punkte liegen auf der Strecke . Die Winkel haben das Maß mit
Zeichnen Sie die Strecke sowie das Dreieck für in das Schrägbild zu Teilaufgabe a) ein.
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Zeichnung der Strecke [EK]:
Wir wissen , daher können wir
- Möglichkeit: Eine Parallele zur Strecke durch den Punkt zeichnen.
- Möglichkeit: Den Winkel übertragen, da (blau).
Der Schnittpunkt der entstandenen Halbgeraden mit der Seite ist der Punkt .
Zeichnung des Dreiecks mit
:
Wir zeichnen (pink), der Schnittpunkt mit der Seite ist der Punkt .
Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken in Abhängigkeit von gilt: .
Die Länge der Strecke ist minimal. Geben Sie den zugehörigen Wert für an.
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Länge der Strecke in Abhängigkeit von im Dreieck mit dem Sinussatz:
Umformung: \cdot \sin \left(50,19°\right)
Zusätzliche Begründung für :
Wir kennen die Supplementbeziehung, die besagt:
Wir können also die 180° und das Minus in der Gleichung einfach weglassen!
Der Wert für mit minimaler Länge der Strecke :
Wir kennen ; dieser Bruch soll minimal groß sein. Bei Brüchen wissen wir, je größer der Nenner, desto kleiner die Zahl:
Beispiel:
Der Nenner: , also der Sinuswert, muss möglichst groß werden. Der größte Sinuswert ist , bei .
Wenn , wird der Nenner gleich und die Strecke minimal.
Für Punkte gilt: . Die Dreiecke sind die Grundflächen der Prismen .
Zeichnen Sie das Prisma in das Schrägbild zu Teilaufgabe a) ein.
Ermitteln Sie sodann durch Rechnung das Volumen der Prismen in Abhängigkeit von
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Zeichnung des Prismas :
- Wir wissen, dass ist und . Wir können also eine Parallele zu durch den Punkt ziehen. Der Schnittpunkt der Parallelen und der Strecke ist der Punkt .
- Wir verbinden die Eckpunkte des Prismas (siehe nächste Abbildung).
Volumen des Prismas in Abhängigkeit von :
Für das Volumen benötige ich die Grundfläche (Dreiecksfläche) des Prismas.
Flächenberechnung eines Dreiecks mit dem Sinussatz:
Das Volumen des Prismas ist um kleiner als das Volumen des Prismas . Berechnen Sie den zugehörigen Wert für .
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Volumen des Prismas mit einem Trapez als Grundfläche:
Volumen des Prismas , wenn es um kleiner ist:
Den zugehörigen Wert für bekommen wir, wenn wir das Volumen () mit der Formel gleichsetzen:
Umformung: :\text{cm}^3
Bevor wir weiter auflösen, ein Hinweis:
Wir haben im Nenner das Additionstheorem , das ich wie folgt auflöse:
(Sinus des 1. Winkels, mal Kosinus des 2. Winkels plus Sinus des 2. Winkels, mal Kosinus des 1. Winkels.)
Umformung: :\ 151,2
Vertauschen von Zähler und Nenner
Trennen in zwei Summanden
Kürzen und zusammenfassen
Umformung: -\cos\left(50,19^{\circ}\right)
Umformung: :\sin\left(50,19°\right)
Weiterer Hinweis:
Umformung: \cdot\tan^{-1}
Tausch von Nenner und Zähler
Umformung: \cdot\tan^{-1}
Bestätigen Sie durch Rechnung die obere Intervallgrenze für
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Die obere Intervallgrenze für :
Da der Punkt , ist (pink) am größten, wenn .
Der Winkel (pink) liegt im Dreieck (grau). Um den Winkel zu berechnen, kann ich den Kosinussatz verwenden. Dafür benötige ich alle drei Seiten des Dreiecks.
Bekannt ist bisher der Winkel (blau) und die Seite , ich benötige also noch die Seite (rot) und die Seite (schwarz).
Die Seite im rechtwinkligen Dreieck mithilfe der Trigonometrie:
|
Die Seite im Dreieck mit des Kosinussatzes:
Jetzt können wir im letzten Schritt mit Hilfe des Kosinussatzes den Winkel bestimmen:
Umformung: +2\cdot\overline{AE}\cdot\overline{AK}\cdot\cos\varphi
Umformung: \cdot\cos^{-1}
Alternativ hätte man hier auch den Sinussatz verwenden können.